物理講義室・改Ⅱ

日記や趣味の数学・物理・電子工作の紹介をしています。

RSSフィード

リンク集

このブログをリンクに追加する

ブログランキングなど

FC2ブログランキング ブログランキング・にほんブログ村へ

管理人GJ!ってときはクリックヨロです.

プロフィール

のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

Lecture Notes
↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

カテゴリー

FC2カウンター

最近の記事

最近のコメント

月別アーカイブ

    スポンサーサイト

    --/--/--(--) --:--:--

    上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
    新しい記事を書く事で広告が消せます。
    スポンサー広告

    πについて9(Fourier級数展開)

    2008/03/16(日) 19:04:21

    だんだんと暖かくなってきましたね。年明けからずっとコートを着て就職活動を行ってきたのですが、最近は日中にコートを着ていると軽く汗ばんできます。でも、夕方から夜間にかけては冷え込んだりするので結局コートが手放せないわけですが・・・^^;

    さて、今週も少し時間があったので「πについて」シリーズの更新を進めてみたいと思います。前回「ゼータ関数とπの関係」を説明すると言っていたのですが、その説明を行うために今回と次回の2回に分けて必要な数学について紹介したいと思います。今日はFourier(フーリエ)級数についてです。

    以前、Maclaurin展開について説明したと思うのですが(2007年12月24日のブログ参照)Maclaurin展開はxのべき乗による関数の展開のことでした。今日紹介するFourier級数展開とは三角関数による関数の展開のことを表します。具体的な定義は以下のようになります。

    texclip20080316180205.png

    texclip20080316180604.png


    ここで、nは整数、Lは関数の半周期を表します。Maclaurin展開と違い展開される関数の方は周期関数でなければなりません。

    実際にこれを使って計算を行ってみましょう。

    texclip20080316181248.png


    degital.png


    このf(x)(階段関数)にFourier級数展開を行います。(グラフはf(x)を周期関数に拡張したものです。)

    まず、a_nに関しての積分についてですが、これは今f(x)が奇関数なので

    texclip20080316181333.png


    となります。一方でb_nはnが奇数のときに限りゼロ以外の値を持ち

    texclip20080316181815.png


    となります。よって、まとめるとf(x)はFourier級数を用いて

    texclip20080316182059.png


    と表されることがわかります。実際にこのf(x)がもとの階段関数に近づいているかを確認したいと思います。

    fourier.png


    これは、上の展開されたf(x)をn=39まで計算してプロットしたものなんですが、1周期において展開される前の階段関数っぽくなっていることがわかるでしょうか?(実際もっとnの値を大きくとると階段関数に近づいていきます。)

    今日の更新は少しヘビーでしたかね・・・余談ですが、Fourier級数はデジタル信号をアナログ信号に変換したり、音響の解析を行ったりするときに使われます。

    次回はこのFourier級数で成り立つ等式Parseval(パーセバル)の等式について説明していきたいと思います。

    それでは、今日はこのへんでノシ
    数学TB:0CM:0

    πについて8(Machinの公式)

    2008/03/07(金) 21:31:36

     3月5日に、2月の中旬あたりから選考に入った企業(LSIの設計・開発を専門に行っている企業)から内定を頂くことができました。^^まだ、選考中の会社がいくつかあるのでこれからも就職活動は続けていきますが、とりあえず内定を一つ頂けてホッっとしています。

    さて、今週は少し時間があるので気分転換も兼ねて「πシリーズ」の記事を書いてみたいと思います。

    今日紹介する公式は、タイトルにもありますがMachinの公式という公式で以下のような形をしています。

    texclip20080307202948.png


    見てわかる通りアーク・タンジェントがベースになっています。導出は、簡単で
    まず、タンジェントの倍角の公式より

    texclip20080307211219.png


    の計算を行い、次にタンジェントの加法定理を用いて

    texclip20080307203356.png


    の計算を行います。最後に両辺にアーク・タンジェントをとると

    texclip20080307202948.png


    が導かれます。しかし、実際にπの数値を得るためにはアーク・タンジェントの具体的な値を知る必要があるのでLeibnizの公式のところでも出てきたアーク・タンジェントの級数展開(Gregoryの公式)

    texclip20080307203609.png


    を用いて計算を行うとMchinの公式よりπは

    texclip20080307204008.png


    と表されます。

    この展開式は第二項の(1/57121)^nが影響してかなり収束が良いようです。時間があればこの公式からπの値を算出してみたいですね。

    とこんな感じで今日の更新を終えたいと思います。次回はいつになるかわかりませんが^^;「ゼータ関数とπの関係」を紹介してみたいと思っています。

    それではノシ
    数学TB:0CM:23

    πについて7(オイラーの工夫)

    2008/01/19(土) 22:26:53

     どうも、お久しぶりです。就活の準備などで更新が滞っていました。m(__)m来週は大阪、名古屋と会社説明会に出かけて来ます。ついでに好物の"ういろう"も仕入れてきたいと思いますw

    さて、本日の更新に行ってみましょう。
    今日は題名にもあるようにEularによる公式(Leibnizの公式)の改良を紹介したいと思います。去年12月29日にLeibnizの公式というものを紹介したと思うのですが

    texclip20080119214611.png


    ↑Leibnizの公式
    これは大変収束の悪いものでした。そもそも、収束の良し悪しは一般項がいかに速くゼロに近づくかということで評価されます。つまり、一般項の分母にn!やa^nなどがあれば速くゼロに近づき収束が良いものだと言えます。Eularの工夫というのは

    texclip20071229040432.png


    このアーク・タンジェントの微分をそのまま級数展開するのではなく

    texclip20080119214750.png


    のように一度両辺を積分して級数展開を行うというものです。この結果は

    texclip20080119215104.png


    となり、特に両辺にx=1を代入すれば

    texclip20080119215255.png


    となります。(1755年,Eular)Leibnizの公式と違うところは分母の2n+1が階乗になっているところです。最初の100項を計算すればπの正確な値30ケタを求めることができるそうです。

    ・・・ちょっと、今回は特にアニアックでしたかね^^;まぁ、これからどんどんマニアックになっていくわけですがOTL

    特にオチもないですが、今日はこの辺でノシ
    数学TB:0CM:8

    πについて6(無理数と超越数)

    2008/01/07(月) 02:38:42

    ・・・寒いです。計算していると手(右手)が冷たくなっていくのは仕様でしょうか?それとも、私にしか起こらないバグとか・・・誰か、デバックしてくださいOTL


    さて、くだらないこと言ってないで今日の更新に入りますね^^;今日は「公式を紹介する」という本流から少しそれてπの超越性について簡単にお話したいと思います。

    そもそも、超越数とは何でしょうか?簡単に言うと、無理数の中でも特に複雑な構造を持つ数のことです。無理数とは、分数で表せない数で具体的に言うと√2などが当てはまります。πも無理数であることには変わりないのですが√2などの普通の無理数は

    texclip20080107020412.png


    のように代数方程式の解として表現することができます。しかし、一方でπのような無理数はこのような代数方程式の解として記述できないのです。もう少し一般的に言うと

    texclip20080107020253.png


    の代数方程式で係数a,b,・・・を整数の範囲内でどんなに変えてもπを解として持つような方程式を作ることはできないということです。

    つまり、無理数の中でも代数方程式の解として表せないものが超越数なのです。π以外にもe(ネイピア数)やlog(2)などが超越数であることが知られています。

    できれば、πが超越数である事の証明をここで紹介したかったのですが、証明方法がかなり複雑で巧くまとめる自信がなかったので、今回、証明は割愛しましたOTL(ヘボいとかってゆーな><)


    さて、来週からはまたπに関する公式の紹介を行っていきますね。でも、今度の内容は凄いマニアックになりそう・・・

    というか、就職活動が本格化していくので2,3月はかなり忙しくなるぞ、絶対OTL

    ながい、たびがはじまる・・・

    わかんないかな、このネタ^^;

    それではノシ
    数学TB:0CM:4

    πについて5(Newtonによる公式)

    2007/12/29(土) 21:59:27

     いや~先ほどバイトから戻ったのですが、家庭教師先の家でビール6缶と、米3kgを頂きました。ありがとうございます!>家庭教師先のご家庭

    残念ながら、今年も我が家には、サンタが巡回することは無かったのですが、ビール(スーパードライ)が貰えたので、良い年末が迎えられそうです。というか、長らく発泡酒しか飲んでないのでビールの味を忘れかけてる俺ガイル・・・OTL

    というわけで、今日の更新いってみましょう。今日紹介する公式は、あの有名なNewtonが導出した公式で↓のような形をしています。

    texclip20071229212048.png


    一般項を見て貰えばわかると思いますが、昨日紹介したLeibnizの公式より収束が速く、始めの50項を計算すれば、πの正確な値の小数点以下30桁まで求めることができるそうです。

    導出に関しては、Leibnizの公式と似ていてアーク・サイン(サインの逆関数)の展開をまず行います。

    texclip20071229212139.png


    この、アーク・サインを両辺微分すると

    texclip20071229213000.png


    となるので、前回同様、右辺を級数展開して、両辺積分することにより

    texclip20071229213151.png


    アーク・サインの展開式を得ることができます。ここでx=1/2を両辺に代入すれば

    texclip20071229212048.png


    を導くことができます。

    いや、Newtonって結構、手広く色んなことやってるんですね~というか、昔の物理学者or数学者って万能な人が多いってイメージありますよね。GaussとかLaplaceとかね。

    というわけで、昨日で更新終わりだって言っときながら更新しているわけですが・・・もしかしたら今年中にあと一回更新するかもしれません。

    それではノシ
    数学TB:0CM:4
    << 前のページホーム全記事一覧次のページ >>
    Copyright(C) 2006 物理講義室・改Ⅱ All Rights Reserved.
    template designed by 遥かなるわらしべ長者への挑戦.
    上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。