物理講義室・改Ⅱ

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

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    Cauchyの積分定理とCauchyの積分公式

    2007/03/04(日) 16:11:58


    今日はまったりと過ごしています・・・
    暇なので,作成中の講義ノートから題名にも書いてありますが,
    Cauchyの積分定理と積分公式を紹介したいと思います.

    [Cauchyの積分定理]
    f(z)が単純曲線Cで囲まれた領域内で正則であるとき
    (微分可能なとき)
    20070304155758.png


    が成り立つ.

    これは実関数では成り立たなかったような驚くべき定理です.
    この定理を用いることにより,Gauss積分やFresnel積分などが導かれます.次に微分可能でないような点が領域内に存在した場合では・・・

    [Cauchyの積分公式]
    f(z)がCで囲まれた領域Dで正則でない点z0を持つ場合(正則で合ってもかまわない)
    20070304160333.png


    が成り立つ.

    まぁ,これだけでは何の役に立つか分かりにくいと思いますが,
    例えば,1/(z^4-1)などを|z-1|=1の円で周回積分が一瞬で求まります.また,実関数に応用していくときにとても重要になる公式です
    (留数定理など)

    今回はあまり具体的な話しが出来ませんでしたが,これから機会があれば例題などを紹介していきたいです.
    これから,研究室でも行こうかな・・・それでは~

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