物理講義室・改Ⅱ

日記や趣味の数学・物理・電子工作の紹介をしています。

RSSフィード

リンク集

このブログをリンクに追加する

ブログランキングなど

FC2ブログランキング ブログランキング・にほんブログ村へ

管理人GJ!ってときはクリックヨロです.

プロフィール

のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

Lecture Notes
↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

カテゴリー

FC2カウンター

最近の記事

最近のコメント

月別アーカイブ

    スポンサーサイト

    --/--/--(--) --:--:--

    上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
    新しい記事を書く事で広告が消せます。
    スポンサー広告

    リーマン予想概論 (その1:ゼータ関数と素数)

    2011/04/01(金) 00:25:52

    今日は年度末ということで、有休消化のためお休みを頂けました。
    週の半ばの木曜に休めるとよい感じにリフレッシュできますよね~
    いつもこうだと良いんですが…

    さて、今日は題名にもあるようにリーマン予想概論を進めていきたいと思います。
    とはいっても、管理人は数学科出身ではないので、せいぜい本に書いてることを要約したり
    自分の分かる範囲内で途中式を計算したりするぐらいですが…

    [リーマン予想]
    ゼータ関数ζ(s)の自明でない零点は、すべて実部が1/2となる。

    ん~まだ今の段階では何のことだかさっぱりですね
    そもそもゼータ関数って?自明でない零点ってどういうもの?
    など分からないことが多いです。

    この予想は1859年ベルンハルト・リーマンの「与えられた量より小さい素数の個数について」
    という論文に記載されました。

    リーマンはとても直感的な数学者だったらしく証明を与えていなかったようです。
    同値命題が他にもいくつか存在するようですが、上記の記載がオリジナルの命題だと思います。

    まずはゼータ関数について簡単に説明します。

    [ゼータ関数]
    texclip20110331233651.png
    (n:自然数)

    上記の関数がゼータ関数です。
    (2008/04/25(金)の日記でもゼータとπの関係について説明してあるので興味がある方はそちらも参考に)

    実は、このゼータ関数はリーマンの論文のタイトルにもあるように素数ととても深い関わりをもっています。
    上記のゼータ関数を少し変形させて見ましょう
    (以下はオイラーによる計算を参考にしています)

    まず、ゼータ関数の両辺に1/2^sを掛けます。
    texclip20110331234659.png

    次に、ζ(s)と上式の差をとります。
    texclip20110331234951.png

    3,5,7と素数で同様の計算を繰り返すと以下の式が得られます。
    texclip20110331235957.png

    ここで上式の右辺の1より右側にある式はs>1の場合十分小さいとみなせるため以下のように変形されます。
    texclip20110401000503.png

    左辺は総乗でまとめました。最後に総乗の部分を両辺から割ることによって下式が得られます。
    texclip20110401000927.png
    (p:素数)

    なんとゼータ関数が素数によって表せてしまいました。

    この結果は黄金の鍵と呼ばれているらしく
    リーマン予想を考えるうえでとても重要な式となっています。

    自分だけかもしれませんが、なんだかとてもワクワクしてしまう結果ですよね。
    一見、単純なゼータ関数ですが、素数の分布の秘密が隠されているのではないでしょうか?

    今日の更新は以上です。次回は、「素数定理」について解説したいと思います。
    それではノシ
    スポンサーサイト
    数学TB:0CM:1
    << リーマン予想概論 (その2:素数定理解説準備)ホーム全記事一覧ラジオ製作[その1] >>

    コメント
    承認待ちコメント
    このコメントは管理者の承認待ちです
    #|2014/01/28(火) 17:34 [ 編集 ]
    コメントの投稿

    管理者にだけ表示を許可する

    トラックバック

    トラックバックURLはこちら
    http://shrcat.blog91.fc2.com/tb.php/157-34d678a5

    Copyright(C) 2006 物理講義室・改Ⅱ All Rights Reserved.
    template designed by 遥かなるわらしべ長者への挑戦.
    上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。