物理講義室・改Ⅱ

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

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↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

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    πについて11(ゼータ関数)

    2008/04/25(金) 20:39:31

                      「気流が乱れて巧く飛べないの!」
                          ~風の谷のナウシカ~  


    気が付けば、もうGWの時期ですね~今年のGWは実家に帰ってのんびりする予定です。

    帰る前に「πについて」シリーズの更新を行っておきたいと思います。(恐らくこれがシリーズ最終回)

    今までのシリーズの記事はカテゴリーの数学にまとめてありますので、今日はじめてこのシリーズを読んで興味を持たれた方は一度ご覧になって見てください。(あ、いやいや、誰も見てないんだった・・・独り言乙)

    では、本題に入りますね。今日紹介したいπに関する公式はタイトルにもありますがゼータ関数

    texclip20080425191800.png


    ↑に関するものです。ゼータ関数自体は調和級数を一般化したような形をしています。この関数において、特にp=2の場合、級数が収束して

    texclip20080425191934.png


    のように何故かπが現れるのですが、今日はこの事実を前回と前々回で説明したFourier級数とParsevalの等式を用いて証明します。

    まず、πについて9で計算した

    texclip20080316181248.png


    の計算結果

    texclip20080316181333.png


    texclip20080316181815.png


    を用います。このa_nとb_nをParsevalの等式に代入すると

    texclip20080425192314.png


    が得られるのでこれより

    texclip20080425192844.png


    が示されます。(mは自然数)また、ここで

    texclip20080425193413.png


    なので移項してまとめるとζ(2)は

    texclip20080425193614.png


    と表せます。括弧の中の級数は先ほど示した

    texclip20080425192844.png


    よりπ^2/8となるので

    texclip20080425193728.png


    が示されます。Q.E.D.

    この公式において不思議な点はこのζ(2)の級数は円と何も関係ないはずなのに値がπに収束してしまうところです。

    我々は普段πを円の面積を表すための比例係数(S=πr^2)として認識していますが、こういった公式を見ると、円で出会うπは数多くあるπの側面の一つであり、実際のπは自然のもっと奥深いところに根ざしているのではないかと思ってしまいます。

    かなり途中式が長くなってしまいましたが、理解していただけたでしょうか?今回は示しませんが、実は、ゼータ関数はpが偶数の場合に限り解析的計算でき、しかもやはり値がπのp乗に収束します。(ζ(4) = π^4/90など)また偶数次のゼータ関数はBernoulli数という数を用いて一般的に表すことができます。(この話は気が向いたら話そうかなと思っています)

    さて、今日は疲れたのでもう締めますね。近いうちに近藤効果(完全版)(現在、執筆中)をアップロードしたいと思っています。

    それではノシ

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