πについて9(Fourier級数展開)

だんだんと暖かくなってきましたね。年明けからずっとコートを着て就職活動を行ってきたのですが、最近は日中にコートを着ていると軽く汗ばんできます。でも、夕方から夜間にかけては冷え込んだりするので結局コートが手放せないわけですが・・・^^;

さて、今週も少し時間があったので「πについて」シリーズの更新を進めてみたいと思います。前回「ゼータ関数とπの関係」を説明すると言っていたのですが、その説明を行うために今回と次回の2回に分けて必要な数学について紹介したいと思います。今日はFourier(フーリエ)級数についてです。

以前、Maclaurin展開について説明したと思うのですが(2007年12月24日のブログ参照)Maclaurin展開はxのべき乗による関数の展開のことでした。今日紹介するFourier級数展開とは三角関数による関数の展開のことを表します。具体的な定義は以下のようになります。






ここで、nは整数、Lは関数の半周期を表します。Maclaurin展開と違い展開される関数の方は周期関数でなければなりません。

実際にこれを使って計算を行ってみましょう。







このf(x)(階段関数)にFourier級数展開を行います。(グラフはf(x)を周期関数に拡張したものです。)

まず、a_nに関しての積分についてですが、これは今f(x)が奇関数なので




となります。一方でb_nはnが奇数のときに限りゼロ以外の値を持ち




となります。よって、まとめるとf(x)はFourier級数を用いて




と表されることがわかります。実際にこのf(x)がもとの階段関数に近づいているかを確認したいと思います。




これは、上の展開されたf(x)をn=39まで計算してプロットしたものなんですが、1周期において展開される前の階段関数っぽくなっていることがわかるでしょうか?(実際もっとnの値を大きくとると階段関数に近づいていきます。)

今日の更新は少しヘビーでしたかね・・・余談ですが、Fourier級数はデジタル信号をアナログ信号に変換したり、音響の解析を行ったりするときに使われます。

次回はこのFourier級数で成り立つ等式Parseval(パーセバル)の等式について説明していきたいと思います。

それでは、今日はこのへんでノシ