物理講義室・改Ⅱ

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

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↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

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    πについて4(ライプニッツの公式)

    2007/12/29(土) 04:43:03

     少し間隔が空いてしまいましたが、今日の更新いってみましょう。今日紹介する公式はLeibniz(ライプニッツ)の公式です。↓

    texclip20071229040228.png


    πを表す無限級数の公式ですが、収束が悪く5000項くらい計算してもπの正確な値の小数点以下3桁までしか求まらないようです。簡単にですが、この公式の導出を紹介したいと思います。
    まず、アーク・タンジェント(タンジェントの逆関数)を用います。

    texclip20071229040323.png


    この、アーク・タンジェントを微分すると

    texclip20071229040432.png


    となるので、右辺を前回紹介した級数展開によって展開し、更に両辺を積分することによって

    texclip20071229044834.png


    アーク・タンジェントの展開式が得られます。この展開式でx=1を両辺に代入すると

    texclip20071229040228.png


    を導くことができます。

    実は、アーク・タンジェントがπの公式について重要な役割を担っているのですが、この話しはまたいずれ・・・

    今年はこの更新が最後かな、ということで、管理人自ら締めの挨拶をさせてもらいます。

    皆様、Good Integral! (良い積分を!)

    ノシ
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    #|2011/01/13(木) 04:31 [ 編集 ]
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    #|2011/01/13(木) 06:24 [ 編集 ]
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    #|2011/01/13(木) 12:51 [ 編集 ]
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    #|2011/01/14(金) 03:35 [ 編集 ]
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    #|2011/01/14(金) 04:53 [ 編集 ]
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    #|2011/01/14(金) 05:36 [ 編集 ]
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    #|2011/01/19(水) 09:41 [ 編集 ]
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    #|2011/01/19(水) 10:54 [ 編集 ]
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    #|2011/01/19(水) 11:28 [ 編集 ]
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    #|2011/01/19(水) 12:03 [ 編集 ]
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    #|2011/01/22(土) 16:21 [ 編集 ]
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