物理講義室・改Ⅱ

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

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↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

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    πについて3(級数展開)

    2007/12/24(月) 20:24:53

     大学が冬季休業に入りました。と、というか今日もしかしてクリスマス・イブなんじゃ・・・ま、まさかね、こんな寂しいクリスマス・イブとかないですよね~^^;あ~びっくりした。(お母さん、のまネコはまだ大丈夫です。)

    さて、今日の更新に入りましょう。
    今回はπとは直接関係ないのですが、アーク・タンジェントについての公式を説明するために級数展開(Maclaurin展開)の知識が必要なので少しレクチャーしたいと思います。

    まず、Maclaurin展開とは、任意の関数をxのべき乗で表現することです。
    中学校で↓のような展開を習いますが、

    texclip20080313171719.png

    sin(x)が↓のように展開されることは教えてくれません。

    texclip20080313172017.png


    ・・・まぁ、教えられも困りますが^^;実は、関数の展開には一般論があり

    texclip20080313172828.png


    のように任意関数f(x)を展開できることが知られています。これが具体的なMaclaurin展開の定義となっています。上のsin(x)の展開式もこの定義より得られます。

    では、本当に上のsin(x)の展開はもとのsin(x)に近づいているのか、ということを議論してみたいと思います。

    sin(x)の右辺を項数別に

    texclip20080313172308.png


    texclip20080313172345.png


    texclip20080313172451.png


    として実際にプロットしてみると

    グラフ


    というように黒の曲線→青の曲線へ項数が増えていくとxのベキで表された関数がsin(x)(赤の曲線)に近づいていくのがわかると思います。勿論、もっと項数を増やせば広い範囲でsin(x)に一致するようになります。(グラフの出力にはGnuplotを用いました。)

    こんな感じでMaclaurin展開の話をしたわけですが、物理とか数学とかやってる人にとっては少しくどい説明だったかもしれませんね。

    次回は、本題のπの公式を更新していきます。
    それではノシ
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