物理講義室・改Ⅱ

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

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    πについて2(ヴォリスの公式)

    2007/12/23(日) 16:57:22

     さて、前回に続き今日もπに関する公式の紹介を行っていきたいと思います。今日紹介する公式は「Wallis(ヴォリス)の公式」です。まず、その定義式をご覧ください

    texclip20071221170146_20071223162956.png


    この公式は1665年にJohn Wallisによって発見されました。前回のVietaの公式と異なるところはπが有理数の無限積で表されていることです。

    簡単にですが、この公式の証明を紹介したいと思います。

    まず、Wallisの積分というものを使います。(定義式↓)

    texclip20071223161738.png


    この積分は具体的に計算できmが偶数と奇数でそれぞれ

    texclip20071223162254.png


    というような値を持っています。(nは自然数)この結果を使うとWallisの公式の左辺は以下のように表されます。

    texclip20071223162516.png


    また、nが十分大きいところでは

    texclip20071223162613.png


    と言えるのでWallisの公式が成り立つことが示せます。

    少々、天下り的な証明ですが理解してもらえたでしょうか?

    こういった無限積で、なぜπが表れるのか、ということは良くわかりません。ただ、πというものは円に関係する定数というだけではなくてもっと自然の深いところに根付いている、ということを示しているのではないでしょうか。(逆に円が自然の本質なのかもしれないけどね。)

    なんか、物理講義室っぽくなってきたぞ・・・最近寒くて外にでるのがおっくうで、数学を勉強するにはうってつけです。

    次回はアークタンジェントを使った公式の前置きとして級数展開の話をしようと思います。
    それではノシ

    (追記)
    どうやら、IE(Internet Explorer)では数式が綺麗に見れないようです。(私が使ってるFire foxだと綺麗に見れるのですが・・・)この対処としてFire foxで表示したものを画像として張る事にしました。お手数ですが、数式が綺麗にご覧になれない方は下のサムネイルをクリックして記事をご覧になってくださいm(__)m

    画像1
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    数学TB:0CM:22
    << πについて3(級数展開)ホーム全記事一覧πについて(ヴィエタの公式) >>

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    #|2011/01/13(木) 04:11 [ 編集 ]
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    #|2011/01/13(木) 05:07 [ 編集 ]
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    #|2011/01/13(木) 06:04 [ 編集 ]
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    #|2011/01/13(木) 12:10 [ 編集 ]
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    #|2011/01/14(金) 03:20 [ 編集 ]
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