物理講義室・改Ⅱ

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

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↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

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    πについて9(Fourier級数展開)

    2008/03/16(日) 19:04:21

    だんだんと暖かくなってきましたね。年明けからずっとコートを着て就職活動を行ってきたのですが、最近は日中にコートを着ていると軽く汗ばんできます。でも、夕方から夜間にかけては冷え込んだりするので結局コートが手放せないわけですが・・・^^;

    さて、今週も少し時間があったので「πについて」シリーズの更新を進めてみたいと思います。前回「ゼータ関数とπの関係」を説明すると言っていたのですが、その説明を行うために今回と次回の2回に分けて必要な数学について紹介したいと思います。今日はFourier(フーリエ)級数についてです。

    以前、Maclaurin展開について説明したと思うのですが(2007年12月24日のブログ参照)Maclaurin展開はxのべき乗による関数の展開のことでした。今日紹介するFourier級数展開とは三角関数による関数の展開のことを表します。具体的な定義は以下のようになります。

    texclip20080316180205.png

    texclip20080316180604.png


    ここで、nは整数、Lは関数の半周期を表します。Maclaurin展開と違い展開される関数の方は周期関数でなければなりません。

    実際にこれを使って計算を行ってみましょう。

    texclip20080316181248.png


    degital.png


    このf(x)(階段関数)にFourier級数展開を行います。(グラフはf(x)を周期関数に拡張したものです。)

    まず、a_nに関しての積分についてですが、これは今f(x)が奇関数なので

    texclip20080316181333.png


    となります。一方でb_nはnが奇数のときに限りゼロ以外の値を持ち

    texclip20080316181815.png


    となります。よって、まとめるとf(x)はFourier級数を用いて

    texclip20080316182059.png


    と表されることがわかります。実際にこのf(x)がもとの階段関数に近づいているかを確認したいと思います。

    fourier.png


    これは、上の展開されたf(x)をn=39まで計算してプロットしたものなんですが、1周期において展開される前の階段関数っぽくなっていることがわかるでしょうか?(実際もっとnの値を大きくとると階段関数に近づいていきます。)

    今日の更新は少しヘビーでしたかね・・・余談ですが、Fourier級数はデジタル信号をアナログ信号に変換したり、音響の解析を行ったりするときに使われます。

    次回はこのFourier級数で成り立つ等式Parseval(パーセバル)の等式について説明していきたいと思います。

    それでは、今日はこのへんでノシ
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    数学TB:0CM:0

    πについて8(Machinの公式)

    2008/03/07(金) 21:31:36

     3月5日に、2月の中旬あたりから選考に入った企業(LSIの設計・開発を専門に行っている企業)から内定を頂くことができました。^^まだ、選考中の会社がいくつかあるのでこれからも就職活動は続けていきますが、とりあえず内定を一つ頂けてホッっとしています。

    さて、今週は少し時間があるので気分転換も兼ねて「πシリーズ」の記事を書いてみたいと思います。

    今日紹介する公式は、タイトルにもありますがMachinの公式という公式で以下のような形をしています。

    texclip20080307202948.png


    見てわかる通りアーク・タンジェントがベースになっています。導出は、簡単で
    まず、タンジェントの倍角の公式より

    texclip20080307211219.png


    の計算を行い、次にタンジェントの加法定理を用いて

    texclip20080307203356.png


    の計算を行います。最後に両辺にアーク・タンジェントをとると

    texclip20080307202948.png


    が導かれます。しかし、実際にπの数値を得るためにはアーク・タンジェントの具体的な値を知る必要があるのでLeibnizの公式のところでも出てきたアーク・タンジェントの級数展開(Gregoryの公式)

    texclip20080307203609.png


    を用いて計算を行うとMchinの公式よりπは

    texclip20080307204008.png


    と表されます。

    この展開式は第二項の(1/57121)^nが影響してかなり収束が良いようです。時間があればこの公式からπの値を算出してみたいですね。

    とこんな感じで今日の更新を終えたいと思います。次回はいつになるかわかりませんが^^;「ゼータ関数とπの関係」を紹介してみたいと思っています。

    それではノシ
    数学TB:0CM:23

    就職活動日記2

    2008/03/03(月) 19:53:40

     いや、一体何日間更新してないんだろう・・・OTL

    お久しぶりです。就職活動がかなり忙しいデスネ^^;2月の三分の一は大阪に滞在して説明会や面接を受けていました。今週は選考の結果待ちでゆっくりしています、もちろん履歴書やエントリーシートの作成などはしなくてはなりませんが

    話は変わって、最近アマゾンで

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    の2冊を購入してみました。

    1冊目は、LSIの設計・開発に必要になるであろう半導体の基礎知識を身につけるために買いました。数式で説明されているのでわかりやすいかなと

    2冊目は・・・もちろんシュレーディンガー方程式は理解しているつもりなのですが、人に説明できるわかりやすい表現を習得したかったので少し読んでみようかな、と思って購入してみました。

    特に1冊目は手計算も交えてちゃんと読みたいと思っています。(なかなか、そんな時間はとれないけどOTL)

    「πについてシリーズ」についても本当は更新していきたいんですけどね・・・当分、さきになりそうです。^^;

    それではノシ
    日記TB:0CM:22
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