物理講義室・改Ⅱ

日記や趣味の数学・物理・電子工作の紹介をしています。

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

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↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

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    πについて5(Newtonによる公式)

    2007/12/29(土) 21:59:27

     いや~先ほどバイトから戻ったのですが、家庭教師先の家でビール6缶と、米3kgを頂きました。ありがとうございます!>家庭教師先のご家庭

    残念ながら、今年も我が家には、サンタが巡回することは無かったのですが、ビール(スーパードライ)が貰えたので、良い年末が迎えられそうです。というか、長らく発泡酒しか飲んでないのでビールの味を忘れかけてる俺ガイル・・・OTL

    というわけで、今日の更新いってみましょう。今日紹介する公式は、あの有名なNewtonが導出した公式で↓のような形をしています。

    texclip20071229212048.png


    一般項を見て貰えばわかると思いますが、昨日紹介したLeibnizの公式より収束が速く、始めの50項を計算すれば、πの正確な値の小数点以下30桁まで求めることができるそうです。

    導出に関しては、Leibnizの公式と似ていてアーク・サイン(サインの逆関数)の展開をまず行います。

    texclip20071229212139.png


    この、アーク・サインを両辺微分すると

    texclip20071229213000.png


    となるので、前回同様、右辺を級数展開して、両辺積分することにより

    texclip20071229213151.png


    アーク・サインの展開式を得ることができます。ここでx=1/2を両辺に代入すれば

    texclip20071229212048.png


    を導くことができます。

    いや、Newtonって結構、手広く色んなことやってるんですね~というか、昔の物理学者or数学者って万能な人が多いってイメージありますよね。GaussとかLaplaceとかね。

    というわけで、昨日で更新終わりだって言っときながら更新しているわけですが・・・もしかしたら今年中にあと一回更新するかもしれません。

    それではノシ
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    数学TB:0CM:4

    πについて4(ライプニッツの公式)

    2007/12/29(土) 04:43:03

     少し間隔が空いてしまいましたが、今日の更新いってみましょう。今日紹介する公式はLeibniz(ライプニッツ)の公式です。↓

    texclip20071229040228.png


    πを表す無限級数の公式ですが、収束が悪く5000項くらい計算してもπの正確な値の小数点以下3桁までしか求まらないようです。簡単にですが、この公式の導出を紹介したいと思います。
    まず、アーク・タンジェント(タンジェントの逆関数)を用います。

    texclip20071229040323.png


    この、アーク・タンジェントを微分すると

    texclip20071229040432.png


    となるので、右辺を前回紹介した級数展開によって展開し、更に両辺を積分することによって

    texclip20071229044834.png


    アーク・タンジェントの展開式が得られます。この展開式でx=1を両辺に代入すると

    texclip20071229040228.png


    を導くことができます。

    実は、アーク・タンジェントがπの公式について重要な役割を担っているのですが、この話しはまたいずれ・・・

    今年はこの更新が最後かな、ということで、管理人自ら締めの挨拶をさせてもらいます。

    皆様、Good Integral! (良い積分を!)

    ノシ
    数学TB:0CM:21

    πについて3(級数展開)

    2007/12/24(月) 20:24:53

     大学が冬季休業に入りました。と、というか今日もしかしてクリスマス・イブなんじゃ・・・ま、まさかね、こんな寂しいクリスマス・イブとかないですよね~^^;あ~びっくりした。(お母さん、のまネコはまだ大丈夫です。)

    さて、今日の更新に入りましょう。
    今回はπとは直接関係ないのですが、アーク・タンジェントについての公式を説明するために級数展開(Maclaurin展開)の知識が必要なので少しレクチャーしたいと思います。

    まず、Maclaurin展開とは、任意の関数をxのべき乗で表現することです。
    中学校で↓のような展開を習いますが、

    texclip20080313171719.png

    sin(x)が↓のように展開されることは教えてくれません。

    texclip20080313172017.png


    ・・・まぁ、教えられも困りますが^^;実は、関数の展開には一般論があり

    texclip20080313172828.png


    のように任意関数f(x)を展開できることが知られています。これが具体的なMaclaurin展開の定義となっています。上のsin(x)の展開式もこの定義より得られます。

    では、本当に上のsin(x)の展開はもとのsin(x)に近づいているのか、ということを議論してみたいと思います。

    sin(x)の右辺を項数別に

    texclip20080313172308.png


    texclip20080313172345.png


    texclip20080313172451.png


    として実際にプロットしてみると

    グラフ


    というように黒の曲線→青の曲線へ項数が増えていくとxのベキで表された関数がsin(x)(赤の曲線)に近づいていくのがわかると思います。勿論、もっと項数を増やせば広い範囲でsin(x)に一致するようになります。(グラフの出力にはGnuplotを用いました。)

    こんな感じでMaclaurin展開の話をしたわけですが、物理とか数学とかやってる人にとっては少しくどい説明だったかもしれませんね。

    次回は、本題のπの公式を更新していきます。
    それではノシ
    数学TB:0CM:0

    πについて2(ヴォリスの公式)

    2007/12/23(日) 16:57:22

     さて、前回に続き今日もπに関する公式の紹介を行っていきたいと思います。今日紹介する公式は「Wallis(ヴォリス)の公式」です。まず、その定義式をご覧ください

    texclip20071221170146_20071223162956.png


    この公式は1665年にJohn Wallisによって発見されました。前回のVietaの公式と異なるところはπが有理数の無限積で表されていることです。

    簡単にですが、この公式の証明を紹介したいと思います。

    まず、Wallisの積分というものを使います。(定義式↓)

    texclip20071223161738.png


    この積分は具体的に計算できmが偶数と奇数でそれぞれ

    texclip20071223162254.png


    というような値を持っています。(nは自然数)この結果を使うとWallisの公式の左辺は以下のように表されます。

    texclip20071223162516.png


    また、nが十分大きいところでは

    texclip20071223162613.png


    と言えるのでWallisの公式が成り立つことが示せます。

    少々、天下り的な証明ですが理解してもらえたでしょうか?

    こういった無限積で、なぜπが表れるのか、ということは良くわかりません。ただ、πというものは円に関係する定数というだけではなくてもっと自然の深いところに根付いている、ということを示しているのではないでしょうか。(逆に円が自然の本質なのかもしれないけどね。)

    なんか、物理講義室っぽくなってきたぞ・・・最近寒くて外にでるのがおっくうで、数学を勉強するにはうってつけです。

    次回はアークタンジェントを使った公式の前置きとして級数展開の話をしようと思います。
    それではノシ

    (追記)
    どうやら、IE(Internet Explorer)では数式が綺麗に見れないようです。(私が使ってるFire foxだと綺麗に見れるのですが・・・)この対処としてFire foxで表示したものを画像として張る事にしました。お手数ですが、数式が綺麗にご覧になれない方は下のサムネイルをクリックして記事をご覧になってくださいm(__)m

    画像1
    数学TB:0CM:22

    πについて(ヴィエタの公式)

    2007/12/21(金) 17:30:26

    論文紹介が終わりました・・・いろんな意味でOTL

    担当教官「ダメだこいつ、早く何とかしないと・・・」

    って、多分、思われましたね。・・・次は頑張る><


    話は変わりますが、ブログ閲覧数1万人記念としてこれから暫く円周率に関する話を紹介していきたいと思います。(べ、べつにブログに書くネタに困ってるわけじゃないんだからっ!)

    今日は手始めとしてタイトルにもありますが、「Vieta(ヴィエタ)の公式」というものを紹介します。

    まぁ、「π=円に関係しているもの」ではなくて円に関係ないところでも突然顔を出す定数である。というようなことが、なんとなくわかってもらえれば幸いです。

    それでは、本題へ・・・
    今日紹介するVietaの公式は以下のような形をしています。

    texclip20071221170146.png

    πの逆数が1/2と√だけで構成されているのが特徴的ですね。これはπをはじめて無限積で表した公式らしいです。実際に円周率3.14・・・に近づいているのか確認して見ましょう。

    texclip20071221171136.png


    texclip20071221171617.png


    と収束はかなり悪いですが、項数が増えるごとに我々が良く知っている3.14・・・に近づいていることがわかります。

    このVietaの公式はその後Eularによって更に一般化され

    texclip20071221172601.png


    となるようです。

    今回かなり数式入りまくりましたね・・・次回からもこんな感じでπに関する公式を紹介していきたいと思います。

    それでは、ノシ

    *IEでご覧の方(数式が綺麗に見えていない方)用↓サムネイルをクリックして記事をご覧ください。m(__)m

    画像4
    数学TB:0CM:2

    就職活動2

    2007/12/19(水) 22:33:36

    少し見ない間にカウンターが10000を越してました。読んでくれてる人ありがとうございますm(__)mくだらない日記ばかりですが、これからも宜しくお願いしますね。


    なんか、今週は凄く忙しい週です。月曜には名古屋へ個別の会社説明会へ日帰りで出かけ、火曜日には大阪に合同企業説明会に出かけ、今日は明後日に控えた論文紹介のための準備を行っています。というか実は明日も個別の会社説明会へ出かける予定があったり・・・OTL

    でも、本当の地獄は選考が始まってからなんですよね^^;

    今日はもう少し研究室で頑張るので、それではノシ
    日記TB:0CM:0

    最近思ふこと

    2007/12/13(木) 03:54:12


     12月も中旬で世間はクリスマスの準備で色めきだっていますね。まぁ、私は今年も研究室でGreen関数を使って摂動展開を行う予定ですがw

    年末ということで、本エントリーを受け付ける企業も出てきているようです。エントリーシートの項目で「自作HPやブログをお持ちの方はURLを記載してください。」というのを良く見かけるのですが、このブログをエントリーシートに記載するのはアウトですかね・・・

    でも、このブログ見ても採用してくれる企業なら一生働けそうな気がしますね。(アウトじゃないよって言う人が居たらweb拍手ボタンを力強くクリックしてやってください、その一押しが明日への活力になります。m(__)m)

    それでは、またノシ

    日記TB:0CM:21

    就職活動1

    2007/12/08(土) 23:20:37

                     
     今日は、合同企業説明会のために岡山へ行ってきました。合同説明会はこれで2度目ですが、参加するたびに新しい企業との出会いが会って楽しいです。でも、つかれた~><

    今日、話しを聞いた企業の多くは企業向けの製品(コンデンサーなどの素子)を作成している企業で普段あまり耳にしないものもありました。しかし、技術力やシェアが実は世界No.1だったりとか、目から鱗が落ちまくりました^^;

    あとは、大手家電メーカー某N○○テクノロジーの人事の人の話も伺いました。私はソフトウェア専門で開発しているものとばかり思っていたのですが、ハード設計(LSI設計)も行っていることを知りイメージだけで判断していはいけないんだなと改めて痛感しました。

    ふ~疲れたので休みますね。今度の説明会は12月17日で名古屋であったり・・・遠いよOTL
    それではノシ
    日記TB:0CM:20

    師走

    2007/12/03(月) 18:34:20

         
     もう、12月になってしまいましたよ・・・1年って早いね。今年は主に勉強の年でした。Green関数など

    来年は就職活動が終われば、研究一直線って感じですかね。研究が巧くいけばhttp://prola.aps.org/(APS:アメリカ物理学界)に投稿する予定です。のまネコよ神話になれ!って感じです。

    あと、自作テキストも頑張って執筆していきたいですね。
    今後の予定としては・・・

    ・Heisenberg形式の量子力学 (レベル:★★☆☆☆)

    ・Green関数を使った摂動について (レベル:★★★★☆)

    ・近藤効果II(後編) (レベル:需要?そんなの関係ねぇ!)

    です。Heisenbergに関しては書こう、書こうと思いながらなかなか時間が取れなかったので、来年こそはしっかり形にしたいです。(実際、摂動計算においてSchr形式よりHeis形式の方が分かりやすいんですよね・・・)

    長々と来年の抱負などを語ってしまいましたが、最大の目標は

    就職する

    ということなので(これがfixedにならないと始まらない・・・)
    頑張って就職活動していきたいと思います。それではノシ
    日記TB:0CM:1
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