物理講義室・改Ⅱ

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のまネコ(量産型)

Author:のまネコ(量産型)
理工学研究科 物理専攻
専攻:物性理論物理学 (卒業)

現在: 半導体メーカー勤務

Lecture Notes
↑今までに管理人が書いてきたテキスト
(量子力学や複素関数論など)をPDFでアップしてます

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    リーマン予想概論 (その2:素数定理解説準備)

    2011/04/10(日) 20:27:19

    前回の更新から結構経ってしまったのですが、まだ解説準備中です。
    平日に作業できないので…

    現在素数定理の解説でグラフを描くために下記のソフトの導入を検討しています。
    Maxima
    大学のころの友人に紹介してもらったのですが、例えるならフリーのMathematicaのような感じでしょうか?

    準備でき次第更新しますので、少々お待ちください。

    話は変わって、5月の連休なんですが、現在取得できるか非常に微妙な感じです…。
    もし、取得できたら伊勢の方へ行ってみたいなと思っています。
    (去年のゴールデンウィークは宮島へ行ってきました。)

    明日からまた残業漬けの日々が送るかと思うと憂鬱ですが、頑張っていきたいと思います。
    それではノシ
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    数学TB:0CM:3

    リーマン予想概論 (その1:ゼータ関数と素数)

    2011/04/01(金) 00:25:52

    今日は年度末ということで、有休消化のためお休みを頂けました。
    週の半ばの木曜に休めるとよい感じにリフレッシュできますよね~
    いつもこうだと良いんですが…

    さて、今日は題名にもあるようにリーマン予想概論を進めていきたいと思います。
    とはいっても、管理人は数学科出身ではないので、せいぜい本に書いてることを要約したり
    自分の分かる範囲内で途中式を計算したりするぐらいですが…

    [リーマン予想]
    ゼータ関数ζ(s)の自明でない零点は、すべて実部が1/2となる。

    ん~まだ今の段階では何のことだかさっぱりですね
    そもそもゼータ関数って?自明でない零点ってどういうもの?
    など分からないことが多いです。

    この予想は1859年ベルンハルト・リーマンの「与えられた量より小さい素数の個数について」
    という論文に記載されました。

    リーマンはとても直感的な数学者だったらしく証明を与えていなかったようです。
    同値命題が他にもいくつか存在するようですが、上記の記載がオリジナルの命題だと思います。

    まずはゼータ関数について簡単に説明します。

    [ゼータ関数]
    texclip20110331233651.png
    (n:自然数)

    上記の関数がゼータ関数です。
    (2008/04/25(金)の日記でもゼータとπの関係について説明してあるので興味がある方はそちらも参考に)

    実は、このゼータ関数はリーマンの論文のタイトルにもあるように素数ととても深い関わりをもっています。
    上記のゼータ関数を少し変形させて見ましょう
    (以下はオイラーによる計算を参考にしています)

    まず、ゼータ関数の両辺に1/2^sを掛けます。
    texclip20110331234659.png

    次に、ζ(s)と上式の差をとります。
    texclip20110331234951.png

    3,5,7と素数で同様の計算を繰り返すと以下の式が得られます。
    texclip20110331235957.png

    ここで上式の右辺の1より右側にある式はs>1の場合十分小さいとみなせるため以下のように変形されます。
    texclip20110401000503.png

    左辺は総乗でまとめました。最後に総乗の部分を両辺から割ることによって下式が得られます。
    texclip20110401000927.png
    (p:素数)

    なんとゼータ関数が素数によって表せてしまいました。

    この結果は黄金の鍵と呼ばれているらしく
    リーマン予想を考えるうえでとても重要な式となっています。

    自分だけかもしれませんが、なんだかとてもワクワクしてしまう結果ですよね。
    一見、単純なゼータ関数ですが、素数の分布の秘密が隠されているのではないでしょうか?

    今日の更新は以上です。次回は、「素数定理」について解説したいと思います。
    それではノシ
    数学TB:0CM:1

    本の紹介(その1)

    2011/01/05(水) 22:52:53

    会社からの帰りが遅く、デジタルテスタの進捗が芳しくないので、今日は普通に本の紹介でも…

    会社の昼休み、食事を取ったあと本を読むことが多いのですが、去年読んで面白いなぁ
    と感じた一冊が↓

    不思議な数eの物語不思議な数eの物語
    (1999/09)
    E.マオール

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    π(円周率)に関する数学の本はかなり多いと思うのですが、これはπと同じ超越数e(ネイピア数)についてのみ
    書かれた珍しい本です。

    この本によるとeは下記のような双曲関数と強いつながりをもっており
    特に、その関係はπに対する円の関係に似ているらしいです。
    うまく伝えられませんが、eに対するイメージが大きく変わったのは確かです。

    texclip20110105223623.png

    本の最後では、複素関数を使った説明がされるなど結構高度なところまで書かれています。
    「もう、πに関する勉強は飽きたよ。」という方は読んでみてはいかがでしょうか?

    それでは、明日も早いので今日はこの辺りでノシ(次回は、ちゃんとデジタルテスタの更新をします。たぶん…)

    *補足
    このブログで書いた数式(双曲線関数)はTexClipというツールを使って書いています。このツールを使うとTeXで書いた数式をその場でPNG形式で画像にしてくれます。ブログを書くときにかなり重宝しているツールのひとつです。
    数学TB:0CM:5

    πについて11(ゼータ関数)

    2008/04/25(金) 20:39:31

                      「気流が乱れて巧く飛べないの!」
                          ~風の谷のナウシカ~  


    気が付けば、もうGWの時期ですね~今年のGWは実家に帰ってのんびりする予定です。

    帰る前に「πについて」シリーズの更新を行っておきたいと思います。(恐らくこれがシリーズ最終回)

    今までのシリーズの記事はカテゴリーの数学にまとめてありますので、今日はじめてこのシリーズを読んで興味を持たれた方は一度ご覧になって見てください。(あ、いやいや、誰も見てないんだった・・・独り言乙)

    では、本題に入りますね。今日紹介したいπに関する公式はタイトルにもありますがゼータ関数

    texclip20080425191800.png


    ↑に関するものです。ゼータ関数自体は調和級数を一般化したような形をしています。この関数において、特にp=2の場合、級数が収束して

    texclip20080425191934.png


    のように何故かπが現れるのですが、今日はこの事実を前回と前々回で説明したFourier級数とParsevalの等式を用いて証明します。

    まず、πについて9で計算した

    texclip20080316181248.png


    の計算結果

    texclip20080316181333.png


    texclip20080316181815.png


    を用います。このa_nとb_nをParsevalの等式に代入すると

    texclip20080425192314.png


    が得られるのでこれより

    texclip20080425192844.png


    が示されます。(mは自然数)また、ここで

    texclip20080425193413.png


    なので移項してまとめるとζ(2)は

    texclip20080425193614.png


    と表せます。括弧の中の級数は先ほど示した

    texclip20080425192844.png


    よりπ^2/8となるので

    texclip20080425193728.png


    が示されます。Q.E.D.

    この公式において不思議な点はこのζ(2)の級数は円と何も関係ないはずなのに値がπに収束してしまうところです。

    我々は普段πを円の面積を表すための比例係数(S=πr^2)として認識していますが、こういった公式を見ると、円で出会うπは数多くあるπの側面の一つであり、実際のπは自然のもっと奥深いところに根ざしているのではないかと思ってしまいます。

    かなり途中式が長くなってしまいましたが、理解していただけたでしょうか?今回は示しませんが、実は、ゼータ関数はpが偶数の場合に限り解析的計算でき、しかもやはり値がπのp乗に収束します。(ζ(4) = π^4/90など)また偶数次のゼータ関数はBernoulli数という数を用いて一般的に表すことができます。(この話は気が向いたら話そうかなと思っています)

    さて、今日は疲れたのでもう締めますね。近いうちに近藤効果(完全版)(現在、執筆中)をアップロードしたいと思っています。

    それではノシ

    数学TB:0CM:21

    πについて10(Parsevalの等式)

    2008/04/11(金) 13:02:25

     だいぶん暖かくなってきましたね。夜などもわりと涼しくて、散歩などをすると気持ち良いです^^

    さて、長らく更新が滞っていた「πについて」シリーズの10回目の更新を今日は行っていきたいと思います。今日紹介する内容はParsevalの等式というもので前回紹介したFourier級数で成り立つ等式です。

    texclip20080411124247.png


    ↑Parsevalの等式です。以下、証明を行います。

    まず、前回紹介したFourier級数展開の式

    texclip20080411122817.png


    の両辺にf(x)をかけて[-L:L]の範囲で定積分を行います。↓

    texclip20080411122225.png


    ↑の式の右辺に

    texclip20080411122555.png


    を代入すると

    texclip20080411124247.png


    が得られます。証明自体はいったってシンプルですね。実はこの等式はベクトルで言うところのPythagoras(ピタゴラス)の定理に対応するものになってます。(関数とベクトルはとても良く似た性質を持っています。)

    さて、前回と今回とで必要な数学を紹介してきたわけですが、ちょっと退屈だったかもしれませんね・・・次回はこの等式を実際に使ってゼータ関数の計算を行っていこうと思っているので、正直良くわからなかったという人も一緒に盛り上がってもらえるとうれしいです。(盛り上がってるのは最初から最後まで私だけかもしれませんがOTL)

    それでは、またノシ
    数学TB:0CM:23
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